要解决这个问题，我们需要先理解题目中的数学关系。题目给出的条件是：

\[ 25^n = 2080^m = 2000 \]

我们的目标是求出 \(\frac{1}{m} + \frac{1}{n}\) 的值。

首先，我们可以将等式 \(25^n = 2000\) 和 \(2080^m = 2000\) 分别取对数来求解 \(n\) 和 \(m\)。

求解 \(n\)

从等式 \(25^n = 2000\)，我们取自然对数（或常用对数）：

\[ \ln(25^n) = \ln(2000) \]

根据对数的性质，幂可以移到对数的前面：

\[ n \cdot \ln(25) = \ln(2000) \]

因此，

\[ n = \frac{\ln(2000)}{\ln(25)} \]

求解 \(m\)

同样地，从等式 \(2080^m = 2000\)，我们取自然对数：

\[ \ln(2080^m) = \ln(2000) \]

根据对数的性质，幂可以移到对数的前面：

\[ m \cdot \ln(2080) = \ln(2000) \]

因此，

\[ m = \frac{\ln(2000)}{\ln(2080)} \]

计算 \(\frac{1}{m} + \frac{1}{n}\)

现在我们已经得到了 \(n\) 和 \(m\) 的表达式，接下来我们计算 \(\frac{1}{m} + \frac{1}{n}\)：

\[ \frac{1}{m} = \frac{\ln(2080)}{\ln(2000)} \]

\[ \frac{1}{n} = \frac{\ln(25)}{\ln(2000)} \]

所以，

\[ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{\ln(2080)}{\ln(2000)} + \frac{\ln(25)}{\ln(2000)} \]

由于分母相同，我们可以合并分子：

\[ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{\ln(2080) + \ln(25)}{\ln(2000)} \]

根据对数的性质，\(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\)，所以：

\[ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{\ln(2080 \ imes 25)}{\ln(2000)} \]

计算 \(2080 \ imes 25\)：

\[ 2080 \ imes 25 = 52000 \]

因此，

\[ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{\ln(52000)}{\ln(2000)} \]

这个结果表示的是两个对数的比值，它告诉我们在给定的条件下，这两个指数关系的倒数之和是多少。通过这个过程，我们不仅解决了问题，还展示了如何通过对数运算来处理复杂的指数方程。