为了找到圆锥轴截面周长最小的条件，我们首先需要理解圆锥的侧面积和轴截面周长之间的关系。

1. 圆锥的侧面积:
   圆锥的侧面积 (A) 由公式 (A = \pi r l) 给出，其中 (r) 是圆锥的底面半径，(l) 是圆锥的斜高。根据题目，圆锥的侧面积为 (\pi)，所以有:
   [
   \pi r l = \pi \implies r l = 1
   ]
2. 圆锥的轴截面周长:
   圆锥的轴截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥的底面直径 (2r)，两腰是圆锥的斜高 (l)。因此，轴截面的周长 (P) 为:
   [
   P = 2r + 2l = 2(r + l)
   ]
3. 最小化轴截面周长:
   我们需要在约束条件 (r l = 1) 下最小化 (P = 2(r + l))。这等价于最小化 (r + l)。使用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），我们有:
   [
   r + l \geq 2\sqrt{r l} = 2\sqrt{1} = 2
   ]
   等号成立当且仅当 (r = l)。将 (r = l) 代入约束条件 (r l = 1)，我们得到:
   [
   r^2 = 1 \implies r = 1 \quad \text{(since (r) is positive)}
   ]
   因此， (l = 1)。
4. 计算轴截面周长:
   当 (r = 1) 和 (l = 1) 时，轴截面的周长为:
   [
   P = 2(r + l) = 2(1 + 1) = 4
   ]

因此，圆锥的轴截面周长的最小值是 (\boxed{4})。