《横空（10分）相关解析》

在给定的问题中，设区域D由曲线 \(y = kr^{k}\)（其中 \(k > 0\)），直线 \(y = 0\) 以及 \(x = 1\) 围成，且满足 \(\frac{\partial r}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} = 3\)。

首先，我们来分析这个条件。根据求导原理，对 \(y = kr^k\) 两边关于 \(y\) 求导，可得 \(\frac{\partial r}{\partial y} = 3kr^{k - 1}\)。而题目中给出的条件是 \(\frac{\partial r}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} = 3\)。这里涉及到复合函数求导的相关概念，通过对函数关系进行巧妙的变换和推导，我们能进一步探究其中的数学奥秘。

当 \(k = 3\) 时，代入可得 \(\frac{\partial r}{\partial y} = 3\)，这一结果与给定的条件相契合。它揭示了在这个特定的 \(k\) 值下，函数之间导数关系的一种特殊性质。这种性质在解决更复杂的数学问题或者实际应用中，可能会起到关键的作用，比如在物理、工程等领域中，对于某些变量之间关系的分析和计算，类似的导数关系能够帮助我们更准确地理解和把握问题的本质，从而找到更有效的解决方案。总之，这道题通过对函数求导关系的考查，让我们深入领略了数学中函数关系的奇妙之处。